Para los amantes del arte del papel y los apasionados de las matemáticas, dos figuras emblemáticas, el rectángulo dorado y la hoja de papel DIN A4, comparten una propiedad fascinante, la capacidad de autorreplicarse con facilidad.
El rectángulo dorado, o áureo, es una figura geométrica de proporciones únicas. Si se le quita un cuadrado de lado igual a su lado menor, el rectángulo restante es semejante al primero y, por lo tanto, también es áureo.
La proporción entre los lados de estos rectángulos es crucial para su autorreplicación. Si se toma como unidad el lado menor del rectángulo inicial y se llama x a su lado mayor, para que ambos rectángulos sean semejantes, sus lados han de ser proporcionales. Esto puede expresarse como x:1 = 1:(x-1). Resolviendo la ecuación, obtenemos que x es igual a 1,618, que es el valor del número áureo, representado con la letra griega Φ.
Por otro lado, la familiar hoja de papel DIN A4 también posee esta propiedad de autorreplicación, aunque de una manera aún más sencilla. Al doblarla por la mitad, obtenemos dos hojas DIN A5 semejantes a la hoja original. En este caso, si tomamos como unidad el lado menor de la hoja y llamamos x al lado mayor, la proporción entre los lados sería x:1 = 1:(x/2). De aquí, obtenemos que x es igual a √2, o aproximadamente 1,414.
La denominación DIN A4 proviene del Instituto Alemán de Normalización (en alemán, Deutsches Institut für Normung). El número 4 indica la cantidad de veces que hay que doblar el pliego original, A0, de 841×1189 mm, para obtener el formato común de 210×297 mm. Este formato se asemeja al antiguo folio, al igual que A5 se asemeja a la antigua cuartilla y A6 a la octavilla.
Ahora bien, si se juega con la colocación de las diferentes hojas (A3, A4, etc.), se puede formar una cuasi espiral parecida a la conocida espiral dorada, una seudoespiral DIN. La geometría de esta espiral, al igual que la del pentáculo con su proporción áurea, puede llevar a interesantes descubrimientos y reflexiones.
Doblar una hoja de papel puede parecer una tarea simple, pero si te preguntas cuántas veces puedes doblar y redoblar una hoja de papel, te encontrarás con un problema complejo. La realidad es que no podrás doblarla más de siete veces consecutivas. Pero, ¿y si pudieras seguir doblando y redoblando indefinidamente? ¿Cuántas veces tendrías que doblar una hoja de papel para que el bloque resultante llegara a la Luna? ¿De qué tamaño tendría que ser la hoja para que la operación fuera posible?
Pero, si hablamos de doblar una hoja de papel de distintas maneras, entramos en el arte de la combinatoria y en el fascinante campo del map folding, un problema matemático que se vuelve irritante y escurridizo cuando se trata de doblar mapas. ¿De cuántas maneras distintas podemos doblar dos veces seguidas una hoja de papel si también son válidos los doblamientos «alargados»? ¿Y tres veces, cuatro…? El número de posibilidades crece exponencialmente, pero eso ya es otra historia.
En resumen, el arte y la ciencia de doblar papel nos lleva a través de un viaje fascinante por la geometría, la proporción áurea, y los misterios de la combinatoria. Ya sea que estés doblando un rectángulo dorado, una hoja de papel DIN A4, o intentando resolver el problema del map folding, hay algo en este campo para entusiasmar a matemáticos y amantes del origami por igual.